Il Qubit (lezione 2)

Autore: Roberto Campagnola
Data Pubblicazione: 30/10/2021

Nel primo articolo abbiamo illustrato i concetti di base e il quadro storico che ha posto le basi per la creazione dell’informatica classica. In questo articolo entriamo nel mondo quantistico, illustrando cosa sono i qubit, la componente fondamentale del processo computazionale che trasmette e contiene l’informazione in un computer quantistico (QC).

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Come i calcolatori classici usano i bit come unità fondamentale dell’informazione, e tali bit si “materializzano” nel passaggio di una corrente in un circuito integrato, così nella computazione quantistica si usano i qubit (Quantum bit).

I metodi sperimentali per costruire i qubit sono molteplici, e più avanti daremo riferimento delle principali architetture di processori per computer quantistici e realizzazioni dei qubit, anche se per semplicità non si può prescindere da una trattazione puramente matematica e più astratta.

Prima di iniziare, dobbiamo però illustrare alcuni concetti fondamentali della meccanica quantistica e della notazione matematiche che si adopera.

Vettori di stato e sovrapposizione

Un qualsiasi sistema quantistico può essere descritto da grandezza, chiamato vettore di stato in uno spazio matematico chiamato Spazio di Hilbert, uno spazio vettoriale complesso.

Per descrivere uno stato quantistico si usa la notazione di Dirac, indicando i vettori come

chiamato vettore ket; si postula che tale vettore contenga tutte le informazioni sullo stato fisico del sistema quantistico che stiamo studiando. Associati ai vettori ket, esistono i vettori bra indicati come:

e indicano i vettori a cui è stata applicata l’operazione matematica di coniugazione complessa.

Associata ai vettori di stato, si studia la funzione d’onda, una funzione complessa delle variabili spaziotemporali, tale che il suo modulo elevato al quadrato rappresenta la densità di probabilità di trovare il sistema fisico in un punto dello spazio ad un dato istante.

Tra i postulati fondamentali della meccanica quantistica, ha per noi molto interesse il Principio di sovrapposizione secondo cui due stati quantistici possono essere “sovrapposti”, dando origine ad un ulteriore stato quantisticamente valido.

Date, per esempio due funzioni d’onda:

allora anche la funzione d’onda con:

e

numeri complessi, rappresenta uno stato fisico valido. Vediamo cosa comporta il principio di sovrapposizione nella costruzione dei qubit.

Così come i bit classici possono assumere i valori 0 o 1, anche i qubit possono essere definiti da vettori che li definiscono negli stati:

Tra gli stati ammessi possiamo trovare anche una combinazione lineare dei due stati, una sovrapposizione appunto, definita come:

Il qubit descritto da questo stato è simultaneamente, fino al momento della misura o della interazione con l’esterno (possiamo dire finché non è stato svolto il compito per il quale il QC è stato programmato) nello stato 0 e nello stato 1.

I coefficienti che vediamo nella formula. i coefficienti:

non appartengono al campo dei numeri reali, ma sono coefficienti complessi, e il loro quadrato:

rappresenta la probabilità di ottenere lo stato 0 o lo stato 1, con la condizione che:

Dai bit ai qubit

Valori dei bit (sx), e sovrapposizione per i qubit (dx)

E’ questa la differenza rivoluzionaria rispetto ai bit classici, e ciò che rappresenta il punto cardine e la potenza futura dei computer quantistici. I bit classici posso essere o 0 o 1, quindi un registro di n bit può essere in una delle 2^n configurazioni possibili mentre eseguo una serie di calcoli che genereranno un output, anch’esso ben definito tra le 2^n configurazioni possibili.

In in QC invece il mio insieme di qubit, opportunamente impostato, dopo ogni operazione, può essere contemporaneamente al massimo in tutte le 2^n configurazioni, ognuna secondo opportuni pesi. In realtà non sempre è possibile avere i nostri qubit tutti sovrapposti nelle 2^n configurazioni possibili: questo perché alcuni qubit mi potranno servire come qubit di controllo, avendo sempre uno stato definito 0 oppure 1, andando a far diminuire le configurazioni possibili.

Un altro fenomeno che riduce le combinazioni possibili dei qubit è il fenomeno dell’entanglement, di cui parleremo nel prossimo numero della rubrica.

Un modo per rappresentare graficamente il concetto di sovrapposizione di stati per un singolo qubit fa uso della sfera di Bloch, una sfera di raggio unitario i cui punti sulla superficie sono in corrispondenza biunivoca con gli stati del qubit: il “polo nord” rappresenta lo stato

il “polo sud” lo stato

mentre gli altri punti mappano le sovrapposizioni di

precisamente:

con

La Sfera di Bloch

La Sfera di Bloch

Si potrebbe pensare che in un singolo qubit sia contenuta una quantità infinita di informazioni, come potrebbero essere i punti di una sfera. Questa tuttavia è una maniera fuorviante e imprecisa di pensare ai qubit; sappiamo dai postulati della Meccanica Quantistica che nel momento in cui eseguo una misura su un qubit o interagisco con esso ottengo solo 0 oppure 1.

La misura cambia lo stato di un qubit, facendo “collassare” lo stato dalla sovrapposizione di 0 e 1 ad uno stato specifico definito dalle condizioni della misura. Da una singola misura di un qubit ottengo solo un singolo bit di informazione, è fondamentale ricordarlo. Quindi potremmo essere in grado di calcolare i due coefficienti α e β in solo se avessimo infiniti qubit tutti preparati in modo identico.

Questi fenomeni all’apparenza altamente contro intuitivi portano ad una incredibile accelerazione nella computazione di cui parleremo più in dettaglio nel prossimo numero dedicato agli algoritmi quantistici che possono essere utilizzati.

Per una panoramica sulle tecniche per costruire i qubit e i processori dei principali computer quantistici vi rimandiamo a https://www.redhotcyber.com/post/il-processore-del-computer-quantistico.

Reference:

Quantum Computation and Quantum Information – Nielsen, Chuang

Photo credit:
https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere
https://itmanager.space/qubit/